정답은 when입니다.

[문법적 접근]

여기서 what는 의문대명사이고 when은 의문부사라는 것을 아셔야 합니다.

만일 이를 안다면 what이 나오면 이 what은 뒷 부분의 주어나 목적어의 역할을 해야 합니다. 즉 주어나 목적어가 빠져 있어야 하는데 뒤에 나오는 부분은 to부정사이므로 주어는 없어도 되니 목적어의 역할을 하여야 합니다.

반면에 when은 의문부사이므로 뒷 문장에 목적가가 빠져있지 않습니다.

그런데 to begin the work는 이미 목적어를 가지고 있으니 목적어가 빠지지 않았습니다. 따라서 what를 쓰실 수 없다는 결론이며 목적어가 있으므로 의문대명사가 아닌 의문부사를 택해야 합니다.

[의미적 접근]

when to begin the work는 언제 일을 시작하는지

라는 의미가 나오는데

what to begin the work는 무슨 의미인지 해석이 되지 않습니다.

따라서 의미해석이 가능한 when을 선택해야 합니다.