이번 글에서는 힘이라는 개념에 대해 고찰해 보도록 하겠다. 우선 힘을 정의해 보자. 중학교 과학 교과서에는, 힘이란 "운동 상태나 모양을 변화시킬 수 있는 능력"이라고 한다. 그런데 모양 변화도 분자/원자들의 배열의 변화이므로 운동 상태의 변화에 포함할 수 있다. 하지만 어쨌거나 모양이 변하는 경우는 고려하지 않을 것이므로, 상관없다. 그렇다면 힘은 운동 상태의 변화라고 할 수 있다. 그렇다면 이 "운동 상태"는 어떻게 정의될까? 선운동량(linear momentum) [회전운동에서 등장하는 각운동량(angular momentum) 이라는 개념과  헷갈릴 일이 없을 때는 선운동량이 기본량이므로 그냥 운동량이라고 많이 한다.]은 질량과 속도의 곱으로 정의된다.

(1)

선운동량은 흔히 p 라는 기호로 표시한다. (질량은 m, 속도는 v ) [이 글부터는 벡터를 볼드체로 표시하도록 하겠다.] 이 식을 처음 보았을 때는 운동량의 물리적 의미가 잘 다가오지 않을 것이다. 예를 들면, 운동에너지는 "에너지"라는 말이 일상 생활에서 자주 쓰여서인지, 일의 정의를 사용하면 쉽게 공식을 유도할 수 있어서인지, 그 의미가 더 쉽게 다가온다. 그러나 비록 운동량의 물리적 개념이 처음에는 와닿지 않아도 이 개념은 물리학에서 상당히 유용하고 중요한 개념이다. 이것에 대한 자세한 고찰은 다음 글로 미루도록 하겠다. 지금은 "운동 상태"라는 개념을 운동량으로 정의했다고 하자. 힘은 운동 상태의 변화, 즉 운동량의 변화이다. 하지만 운동량의 변화량만이 중요한 것이 아니라, 운동량을 얼마나 빨리 변화시킬 수 있는 것도 중요하다. 즉, 힘을 운동량을 시간으로 미분한 것으로 정의할 수 있다.

(2)

(지난 번에도 말했지만, 미분이 익숙지 않으면 단순히 운동량 변화를 시간으로 나눈 것이라고 생각해도 된다. 하지만 엄밀한 물리적 분석을 위해서는 미적분학을 배우는 것이 좋다. 하지만 이 시리즈는 미적분학을 몰라도 막히지 않도록 쓸 것이기 때문에, 급할 것은 없다.) 그런데 대부분의 물리 문제에서는 질량이 상수이다. 모든 물리 문제에서 그런 것은 아니다. 예를 들면, 로켓은 연료를 분출하면서 앞으로 나아가므로 질량이 변한다. 하지만 그것은 특이한 경우이므로 질량을 상수라고 하자. 그렇다면 질량은 미분 기호 밖으로 나올 수 있다.

(3)

(미분을 모른다면, 질량이 상수이므로 변화율을 따질 때 고려되지 않다고 생각할 수 있다. 평균변화율의 개념으로 따진다면, p   변화 = m v  변화 = 나중 (m v ) - 이전 (m v ) 인데 나중의 m과 이전의 m 이 같으므로 m을 공통인수로 묶어낼 수 있다. 즉, p  변화 = m(나중 v  - 이전 v ))

그런데 속도를 시간으로 미분한 것은 가속도다. (미분을 모른다면, 속도의 변화율은 가속도다!) 이것을 이용해서 식 (3)을 다시 쓰면,

(4)

이것이 뉴턴의 제2법칙으로, 물리학에서 가장 중요한 공식으로 평가받는 F =m a 이다. 비록 상대론에서는 훨씬 복잡해지고, 양자역학에는 적용할 수 없는 개념이지만 이것은 여전히 다른 식과 비교할 수 없을 만큼 큰 의미를 지닌다. 이 식은 역사적으로 실질적으로 제대로 된 물리학을 시작했을 뿐만 아니라 고전역학에서는 절대적인 위치를 지닌다. 모든 고전물리학의 원리는 이것과 조금 뒤에 나올 뉴턴 3법칙으로부터 유도할 수 있다. 또 실생활에 응용되는 많은 실험이나 발명품에서는 상대론이나 양자역학이 적용되지 않으므로, 모두 이 식을 사용한다.  물리학은 F 에 여러 가지 힘(만유인력, 공기저항 등)을 대입하고 미분방정식을 푸는 과정이라고도 할 수 있다. 그만큼 이 식의 위치는 절대적이라고 할 수 있다.

그렇다면 이제  F =m a 의 물리적 의미를 분석해 보자. 물리학은 수학의 한 갈래가 아니며, 수식의 정확한 물리적 해석이 수식만큼이나 중요하다.  F =m a 는 힘과 가속도가 동등하다는 뜻이 전혀 아니다. 힘이 가속도의 원인 이라는 것이고, 가속도의 크기는  F /m이라는 것이다. 이 "인과율"은 물리학의 가장 신성한 원리라고도 할 수 있다.  F =m a 가 성립하지 않는 양자역학이나 시공간의 개념이 뒤바뀌는 상대론에서도 이 인과율의 개념만은 변하지 않는다. 고전역학에서는 (비양자역학 상대론에서도) 특별히 이 인과율이 결정론적 이다. 원인이 같으면 결과도 같다. 힘이 주어지면, 가속도가 정해지고, 가속도를 적분하면 속도를 알 수 있고, 속도를 적분하면 위치를 알 수 있다. 즉,  F =m a 를 풀면 입자의 위치를 시간의 함수로 구할 수 있고, 이는 미래의 움직임을 전부 예측할 수 있다는 것이다. 뉴턴역학의 결정론적인 성질은 철학과 사람들의 세계관에도 영향을 미쳤지만, 여기서는 건너뛰도록 하자. 

뉴턴의 2법칙을 더 자세히 고찰하려면 뉴턴의 3법칙도 알고 있어야 한다. 뉴턴의 3법칙은 " 작용-반작용 법칙 "으로 " 어떤 작용(힘)이 있으면, 그 작용과 크기가 같고 방향이 반대인 반작용이 존재한다. "는 것이다. 이것을 수학적으로 조금 더 엄밀히 쓰자면 다음과 같다. 물체 i가 물체 j에 주는 힘을  라고 하자. 그렇다면 작용-반작용의 법칙은,

(5) 이다.

한 가지 주의할 점이 있다. 바로 힘의 평형(equilibrium) 과 작용-반작용(action-reaction) 을 헷갈리지 말아야 한다는 것이다. 힘의 평형이란 한 물체의 작용하는 힘들을 모두 더했을 때 그 합력이 0인 상태를 뜻한다. 작용-반작용은 두 물체가 주고받는 힘은 크기가 같고 방향이 반대라는 것이다. 말로 풀어썼을 때는 둘이 명확히 달라 보인다. 글의 뒷부분에서 문제를 풀면서 자신의 개념을 시험하길 바란다.

이제 힘의 기본적인 성질은 모두 알았다고 할 수 있다. 이를 통해 힘에 대해 더 자세히 논하기 전에, 문제를 하나 내도록 하겠다.

질량 M의 빗면 위에 질량 m의 물체가 있다. 일반적인 문제들과 달리 빗면은 지면에 대해 움직일 수 있다. 만약 외력 F를 가했을 때 m이 빗면에 대해 움직이지 않으려면 F는 어떤 값을 가져야 할까? 마찰은 없다. 물론 이 문제를 처음 본 사람이라면 풀 거라고 기대하지 않는다. 이 문제는 여러 가지로 어렵다. 여러 난관들 중 하나가 바로 F =m a 를 올바르게 사용하는 것이다. 힘을 빗면에 주는 것이므로 F =M a 라고 해야 할까, 아니면 m에도 영향을 주니 F =(M+m) a 라고 해야 할까? 이것은 뉴턴의 2법칙의 적용방법을 잘 모르기 때문이다. 결론부터 말하면 둘 다 옳다. (좀 더 엄밀히 말하자면, 첫 식과 두번째 식의 F 는 같지 않다. 두번째 식에서 F 는 가한 외력이지만 첫 식에는 다른 힘들과의 합이다. 어쨌든 수치적으로 옳기만 하면, 각자의 물리적 의미가 있다는 것이다.) 입자계의 운동방정식(방정식  F =m a 를 운동방정식이라고 부른다.)에서 가속도 a 는 입자계의 질량중심의 가속도 이다. 즉,  F =M a 라고 하면 여기서의 a 는 M의 가속도,  F =(M+m) a 라고 하면 여기서의 a 는 M과 m의 질량중심의 가속도이다. 왜 그런가? 입자계에서의  F =m a 를 자세히 살펴보자.

물체 1, 2, 3, .... , n이 있다고 하자. 우선 질량중심을 정의해 보자. 물체의 질량중심 r cm 은, i번째 물체의 위치가 r i 라고 하면,

(6) (벡터를 모르면 r 을 x로 바꾸고 일차원 문제로 바꾸어 생각해도 이해에 지장은 없다.) (cm은 center of mass를 줄인 것으로, 질량중심일 나타내는 아랫첨자로 흔히 쓰인다.)

(7)

그런데 각 질량들의 합은 총 질량이므로 쉽게 m이라고 쓸 수 있다. 질량중심의 속도는 질량중심의 위치를 속도로 미분한 것이다. (미분을 모른다면 시간 변화량으로 나눈 것)

(8)

질량중심의 가속도는

(9)

이다. 이제 질량중심과 그 속도, 가속도가 정의되었으므로 힘에 대한 논의를 계속할 수 있다. i번째 물체에 작용하는 힘은 외부에서 작용하는 외력, 그리고 자기 자신을 제외한 (n-1)개의 물체들이 i번째 물체에 작용하는 힘 (굳이 표현하자면 내력)이 있겠다. i번째 물체에 대해서 운동방정식을 세워보자.

(10) (ex-i는 물체 i에게 작용하는 외력이라는 뜻이다)

n개의 물체가 있으므로 i=1,2,...n에 대해 n개의 운동방정식이 있을 것이다. 이들을 모두 더하자.

(11)

첫 항은 n개의 입자계에 작용하는 총 외력이므로 단순히 F ex 라고 쓸 수 있다. 두 번째 항은 i≠j인 모든 F ij 의 합임을 알 수 있다. 즉, 임의의  F ij에 대해 i와 j의 순서가 바뀐  F ji도 합에 포함된다는 것이다. 그런데 작용-반작용 법칙에 의해서 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이므로 더하면 서로 상쇄된다. 즉 두 번째 항은 0이다. 정리하면,

(12)

가 된다. 그런데 식 (8)과 (9)에 의하여,

(13)

이것이 여러 개의 입자들로 이루어진 입자계로 확장한 뉴턴의 2법칙이다. 사소한 것들이 많이 있었지만 (미분이나 벡터가 익숙지 못한 독자라면 미안하게 생각하는 바이다. 하지만 식 하나하나를 이해하지 못해도 괜찮다. 결과식의 해석을 유심히 읽어보라.) 핵심은 작용-반작용의 법칙 때문에 입자들 간의 상호작용은 전혀 고려할 필요가 없었고, 입자계 바깥에서 받는 외력의 총합 이 총 질량 과 입자계의 질량중심의 가속도 의 곱과 같다는 결과를 이끌어낼 수 있었다. 강조하자면, 이것은 강체(rigid body)  [입자들의 간의 거리가 변하지 않는다고 가정되는 물체-대부분의 물리 문제에서는 별다른 말이 없으면 물체를 강체라고 가정한다]뿐 아니라 모든 입자계에 대해 성립한다. 예를 들면, 일정한 중력장 안에서 물체는 포물선 운동을 한다는 것을 알고 있을 것이다. (몰라도 상관없다.) 그렇다면 물체가 낙하 도중에 폭발한다면(예. 불꽃놀이) 어떻게 될까? 물체의 파편은 이리저리로 흩어지겠지만, 물체의 질량중심 은 여전히 포물선 궤도를 따라 진행한다. (적어도 파편의 일부가 바닥에 닿기 전까지는)

이제 여러분은 문제에 맞추어 적절히 F =m a 를 활용할 수 있을 것이다. 그런데 지금까지는 힘의 일반적인 성질만 논했고, 개별적인 힘들에 대해서는 다루지 않았기 때문에 이것으로 풀 수 있는 문제는 거의 없다고 봐도 된다. 그래서 우선 전형적인 역학 문제에 거의 빠지지 않고 등장하는 구속력에 대해 조금만 이야기해 보겠다. 이것만 읽어보면 꽤 많은 역학 문제를 풀 수 있을 것이다.

구속력(constraint force) 이란, 물체의 운동을 특정한 곡선에 구속시키는 힘 을 의미한다. 이렇게 말하면 잘 와닿지 않는다. 이것은 무슨 뜻일까? 빗면을 생각해 보자. 물체는 빗면을 따라서 운동 한다. 빗면에 수직한 방향으로는 움직이지 않는다. 이 경우는 수직항력(normal force) 가 물체의 운동을 빗면에 구속시키는 구속력이다. 또, 진자의 예를 생각해 보자. 진자는 (탄성이 없는) 줄에 수직한 방향으로만, 줄이 매달려 있는 점으로부터 일정한 거리만큼 떨어져 있는 곡선에서만 이동한다-즉, 원운동한다(진자의 경우 등속 원운동은 결코 아니다). 이 경우는 줄의 장력(tension) 이 물체의 운동을 원운동으로 구속시키는 구속력이다. 각자의 성질에 대해 조금만 더 자세히 알아보자.

수직항력은, 이름이 암시하는 것처럼 면에 수직한 방향으로 작용 하여 면의 기준에서 물체가 면에 수직한 방향으로 움직이지 못하게 한다. 정의가 요란하다. "면의 기준에서"라는 말은 왜 들어가 있는 것일까? 그것은 면이 관측자에 대해 움직일 경우, 물체는 관측자에 대해서는 면에 수직한 방향으로 이동할 수 있다. 하지만 물체는 면을 뚫고 들어가지도 면과 분리되지도 않으므로 면의 좌표계에서 보면 면에 수직한 방향의 가속도, 속도, 변위가 모두 0일 것이다. 이것을 강조하는 이유는 많은 학생들이 "θ만큼 기울어진 빗면에 놓여 있는 질량 m의 물체가 빗면으로부터 받는 수직항력 N=mgcosθ이다"라고 외우기 때문이다. 빗면이 움직일 수 있으면 이는 더 이상 사실이 아니다. (그리고 수직항력은 보통 N 으로 많이 표시한다.)

장력은 줄이 팽팽해지려는 힘 이다. 대부분의 물리 문제에서는 줄의 무게를 무시하고, 줄의 무게를 무시하면 팽팽한 줄의 장력은 일정하다 고 할 수 있다. (줄의 무게를 고려하면 어떻게 되는지 알고 싶다면, 필자가 올린 글을 참조하라. 이것도 상당히 흥미있는 주제지만, 이 글의 논의의 범위를 벗어난다.  http://blog.naver.com/misterwon/130115202991 ) 장력에 대해서는 이 정도만 말하겠다. 문제들을 풀면서 다양한 경우들에서의 장력이 어떤지 생각해보기를 바란다.

또한 질량 m의 물체는 아래 방향으로 중력 mg(g는 중력가속도로 상수)를 받는다고 가정하라.

난이도는 ★, ★★, ★★★, ★★★★, ★★★★★로 구분되어 있다. ★과 ★★의 구분은 다소 애매하다. 두 개 모두 기본 개념을 알면 잘 풀 수 있는 것이고, 응용능력이 거의 필요하지 않은 문제들이다. ★★★는 조금의 생각이 필요하다. ★★★★는 어려운 문제들이다. ★★★★★는 이 글만 읽고 바로 푸는 것이 불가능에 가까운 문제들이다.

1. 지난 글에서 본 문제다. 이번에는 문제를 조금 바꿔 보자. 수평면과 M 사이의 마찰은 없고, m과 M 사이에는 마찰이 적용해서 둘은 같이 움직인다고 하자. (마찰력에 대해 배우지 않았지만, 몰라도 문제에 주어진 조건만으로 문제를 충분히 풀 수 있다!) 물체 M에 외력 F가 작용할 때 가속도의 크기를 구하여라. (난이도  ★★)

2. 마찰이 없는 수평면에 질량 M의 나무토막과 질량 m의 나무토막이 나란히 놓여 있고, 둘은 붙어 있다. M에 외력 F를 가했을 때 (1) 두 물체 간에 작용하는 힘의 크기를 구하여라. (2) 물체의 가속도의 크기를 구하여라. (난이도 ★)

3.  θ만큼 기울어진 마찰이 없는 경사면에서 물체 m이 미끄러져 내려오고 있다. (1)물체에 작용하는 수직항력과 (2)물체의 가속도를 구하여라. (난이도  ★)

4. 다음 그림은 차 앞에 자석을 매달아 놓은 것이다. 차가 금속이므로 자석에 끌려가므로 에너지 공급 없이 계속 앞으로 나아갈 수 있을 것 같다. 그러나 이것은 물론 불가능하다. 그 이유를 논하라. (난이도 ★)

5. 책이 책상 위에 올려져 있다. (1) 책에 작용하는 중력의 반작용은? (2) 책상이 책을 떠받치는 수직항력의 반작용은 무엇인가? (3) 바닥이 책상을 떠받치는 수직항력의 반작용은 무엇인가? 이번에는 줄에 공이 매달려 있다고 하자. (4) 공에 작용하는 중력의 반작용은? (5) 공에 작용하는 장력의 반작용은? (난이도 ★★)

6. 고정 도르래가 있다. 두 물체가 매달려 있고, 질량은 각각 M, m이며 M이 m보다 크다(Mass 2 > Mass 1). 도르래의 무게, 실의 무게, 마찰을 무시하고 가속도를 구하여라. (난이도  ★★)

7. 도르래가 다음과 같이 연결되어 있다. 실의 질량이나 마찰력은 무시하고 가속도를 구하여라.  (난이도  ★★)

8. 도르래가 다음과 같이 연결되어 있다. 가속도를 구하여라. (세 질량의 대소관계를 모르고 어떻게 방향을 결정하냐고 묻겠지만, 그냥 임의로 정하고 유도하면 된다. 만약 실제로 대소관계가 반대라면 가속도가 음수가 될 것이다.) (난이도  ★ ★ ★)

9. 질량 m의 나무토막이 각도가 θ인 질량 M의 빗면에서 미끄러진다. 보통의 문제와는 달리 빗면 M도 수평면에 대해 미끄러진다. 마찰은 없다. (1)질량 M에 대한 m의 가속도의 크기를 구하여라. (2)수평면에 대한 M의 가속도의 크기를 구하여라. (3)M과 m 사이의 수직항력을 구하여라. (4)이 계에 수평으로 외력 F를 가한다. 나무토막이 빗면에 대해 움직이지 않을 때, 이 외력의 크기를 구하여라. (5)이 결과들을 한 번 "검산"해보자. M->∞의 극한에서 각 답들은 빗면이 움직이지 않는 경우의 답과 일치하는가? (난이도  ★ ★ ★ ★ )