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방정식의 근의 공식.	좋아요:0
작성자	강명규	등록일	11.05.19	조회수	264
1차 방정식의 근의 공식 ax+b=0, x=-b/a 2차 방정식의 근의 공식 $a x 2 + b x + c = 0$ , 단, $a$ , $b$ , $c$ 는 실수이고 $a$ 가 0이 아닐 때, 이 방정식의 두 해 $x 1$ , $x 2$ 는 $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$ 이다. 3차 방정식의 근의 공식 [출처 - 위키피디아] 일반적인 3차 방정식의 대수적 해법은 카르다노의 방법 혹은 카르다노의 공식으로 알려져있다 $a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0$ $(a 3$ ≠ $0)$ 을 $a 3$ 로 나누고 $x 3 + A 2 x 2 + A 1 x + A 0 = 0$ 의 형태로 만든다 다만 $A_n = \frac{a_n}{a_3}$ $x = y - {A_2 \over 3}$ 에 의해서 변수 변환을 실시하면 $y^3 + \left(A_1 - {A_2^2 \over 3}\right) y + \left(A_0 - {1 \over 3} A_1 A_2 +{2 \over 27} A_2^3 \right) = 0$ 와 같이 2차항이 사라진 방정식을 얻을 수 있다. 보기 쉽게 일차의 계수를 p, 정수항을 q로 하여서 $y 3 + p y + q = 0$ 이라고 쓴다 한층 더 $y = u + v$ 라고 두면 $u 3 + v 3 + q + (3 u v + p)(u + v) = 0$ 여기서 $u 3 + v 3 + q = 0$ $3 u v + p = 0$ 가 된다 $u$ , $v$ 을 찾으면 거기에서 $y$ 의 값이 구해진다 이 두개의 식으로 부터 $v$ 을 소거하게 되면 $u^6 + q u^3 - \left({p \over 3}\right)^3 = 0$ 이 식은 u³ 에 관하여 보게된다면 2차 방정식이므로 공식으로부터 $u^3 = - {q \over 2} \pm \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}$ $u$ 와 $v$ 은 대칭이므로 이 두개의 해의 한쪽을 $u 3$ 에 있으면 다른 한쪽은 $v 3$ 이 된다 각각의 세제곱근의 합으로서 $y = \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}$ 이 구해진다 이 해법이 발견된 당시에는 아직 복소수가 알려지지 않았기 때문에 이 방법으로 해를 찾아내었으나, 이후 복소수에 관한 연구가 진행되어 :x³ = a 의 해가 ω 를 1 의 세제곱근으로서 $\sqrt[3]{a}, \omega \sqrt[3]{a}, \omega^2 \sqrt[3]{a}$ 의 3개가 있는것이 알려지게 되었고 u 의 세제곱근을 취할 때에도 마찬가지로 3개의 경우를 생각하게 되어서 각각 대응하는 v 를 요구하는 것으로 $y = \omega^k \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \omega^{3-k} \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}, (k=0,1,2)$ 해로서 알려지게 되었다 또한 x³ + y³ + z³ − 3 x y z = (x + y + z) (x² + y² + z² − z x − x y − y z) = (x + y + z)(x + ω y + ω² z)(x + ω² y + ω z) 인수분해로도 카르다노의 방법을 설명 할 수 있다 y³ + z³ = q −3 y z = p 와 두어두면 p, q 로부터 y, z 을 요구하는 것으로 x³ + p x + q = (x + y + z)(x + ω y + ω² z)(x + ω² y + ω z) 이렇게 되는 3차 방정식을 인수분해로 계산해낼 수 있다. 이 방법은 카르디노의 방법과 같다. 4차 방정식의 근의 공식 - [출처 - 위키피디아] $a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0$ 이 방정식에서 양변을 $x$ 의 최고차항인 $a$ 로 나눈 다음 $x=y-\frac b {4a}$ 라고 두면 $y 4 + p y 2 + q y + r = 0$ 꼴로 정리할 수 있다. $y 4 + 2 p y 2 + p 2 = p y 2 - q y - r + p 2$ 에서 $p y + p 2$ 를 더하면 $(y 2 + p) 2 = p y 2 - q y + p 2 - r$ . 그러므로 임의의 $z$ 에 대해서 $..\begin{align}..( y^2 + p + z )^2 &= py^2 -qy + p^2 -r + 2z ( y^2 + p ) + z^2 \\..&= ( p + 2z ) y^2 -qy + ( p^2 -r +2pz + z^2 )..\end{align}..$ 이제 우변이 완전제곱(판별식)이 되도록 $z$ 를 취하자. 그 경우는 다음과 같은 때이다: $..\begin{align}..4 ( p + 2z ) ( p^2 - r + 2pz + z^2 ) -q^2 &= 0 \\.8z^3 +(16p+4)z^2 +(16p^2 -8r)z+(4p^3 -4pr-q^2) &=0..\end{align}..$ 이 하나를 $z 1$ 로 하면 $..\begin{align}..( y^2 + p + z_1 )^2 &= (p + 2 {z_1}) y^2 - qy + ( p^2 -r + 2p z_1 + {z_1}^2 ) \\. &=( p + 2z_1 ) \left[ \frac {y - q} {2 ( p + 2 z_1 )} \right] ^2..\end{align}..$ 가 되므로 2차방정식의 근의 공식을 이용해 4차방정식을 풀 수 있다. 5차 방정식 및 그 이상.. 근의 공식은 4차 방정식 까지만 존재하며 5차 이상은 존재하지 않습니다. 이는 수학자 '아벨' 이 증명 해냈었습니다. ※ 근의 공식이 없다는 것이지 근 자체가 없다는 것은 아닙니다!!

방정식의 근의 공식.

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작성자

강명규

등록일

11.05.19

조회수

264

1차 방정식의 근의 공식

ax+b=0, x=-b/a

2차 방정식의 근의 공식

a x 2 + b x + c = 0

, 단,

a

b

c

는 실수이고

a

가 0이 아닐 때, 이 방정식의 두 해

x 1

x 2

는

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$ 이다.

3차 방정식의 근의 공식 [출처 - 위키피디아]

일반적인 3차 방정식의 대수적 해법은 카르다노의 방법 혹은 카르다노의 공식으로 알려져있다

a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0

(a 3

≠

0)

을 $a 3$ 로 나누고

x 3 + A 2 x 2 + A 1 x + A 0 = 0

의 형태로 만든다 다만 $A_n = \frac{a_n}{a_3}$

$x = y - {A_2 \over 3}$

에 의해서 변수 변환을 실시하면

$y^3 + \left(A_1 - {A_2^2 \over 3}\right) y + \left(A_0 - {1 \over 3} A_1 A_2 +{2 \over 27} A_2^3 \right) = 0$

와 같이 2차항이 사라진 방정식을 얻을 수 있다. 보기 쉽게 일차의 계수를 p, 정수항을 q로 하여서

y 3 + p y + q = 0

이라고 쓴다 한층 더

y = u + v

라고 두면

u 3 + v 3 + q + (3 u v + p)(u + v) = 0

여기서

u 3 + v 3 + q = 0

3 u v + p = 0

가 된다 $u$ , $v$ 을 찾으면 거기에서 $y$ 의 값이 구해진다 이 두개의 식으로 부터 $v$ 을 소거하게 되면

$u^6 + q u^3 - \left({p \over 3}\right)^3 = 0$

이 식은 u³ 에 관하여 보게된다면 2차 방정식이므로 공식으로부터

$u^3 = - {q \over 2} \pm \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}$

u

와

v

은 대칭이므로 이 두개의 해의 한쪽을

u 3

에 있으면 다른 한쪽은

v 3

이 된다

각각의 세제곱근의 합으로서

$y = \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}$

이 구해진다 이 해법이 발견된 당시에는 아직 복소수가 알려지지 않았기 때문에 이 방법으로 해를 찾아내었으나, 이후 복소수에 관한 연구가 진행되어 :x³ = a 의 해가 ω 를 1 의 세제곱근으로서

$\sqrt[3]{a}, \omega \sqrt[3]{a}, \omega^2 \sqrt[3]{a}$

의 3개가 있는것이 알려지게 되었고 u 의 세제곱근을 취할 때에도 마찬가지로 3개의 경우를 생각하게 되어서 각각 대응하는 v 를 요구하는 것으로

$y = \omega^k \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \omega^{3-k} \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}, (k=0,1,2)$

해로서 알려지게 되었다

또한

x³ + y³ + z³ − 3 x y z

= (x + y + z) (x² + y² + z² − z x − x y − y z)

= (x + y + z)(x + ω y + ω² z)(x + ω² y + ω z)

인수분해로도 카르다노의 방법을 설명 할 수 있다

y³ + z³ = q

−3 y z = p

와 두어두면 p, q 로부터 y, z 을 요구하는 것으로

x³ + p x + q

= (x + y + z)(x + ω y + ω² z)(x + ω² y + ω z)

이렇게 되는 3차 방정식을 인수분해로 계산해낼 수 있다. 이 방법은 카르디노의 방법과 같다.

4차 방정식의 근의 공식 - [출처 - 위키피디아]

a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0

이 방정식에서 양변을 $x$ 의 최고차항인 $a$ 로 나눈 다음 $x=y-\frac b {4a}$ 라고 두면 $y 4 + p y 2 + q y + r = 0$ 꼴로 정리할 수 있다.

$y 4 + 2 p y 2 + p 2 = p y 2 - q y - r + p 2$ 에서 $p y + p 2$ 를 더하면

(y 2 + p) 2 = p y 2 - q y + p 2 - r

그러므로 임의의 $z$ 에 대해서

$..\begin{align}..( y^2 + p + z )^2 &= py^2 -qy + p^2 -r + 2z ( y^2 + p ) + z^2 \\..&= ( p + 2z ) y^2 -qy + ( p^2 -r +2pz + z^2 )..\end{align}..$

이제 우변이 완전제곱(판별식)이 되도록 $z$ 를 취하자. 그 경우는 다음과 같은 때이다:

$..\begin{align}..4 ( p + 2z ) ( p^2 - r + 2pz + z^2 ) -q^2 &= 0 \\.8z^3 +(16p+4)z^2 +(16p^2 -8r)z+(4p^3 -4pr-q^2) &=0..\end{align}..$

이 하나를 $z 1$ 로 하면

$..\begin{align}..( y^2 + p + z_1 )^2 &= (p + 2 {z_1}) y^2 - qy + ( p^2 -r + 2p z_1 + {z_1}^2 ) \\. &=( p + 2z_1 ) \left[ \frac {y - q} {2 ( p + 2 z_1 )} \right] ^2..\end{align}..$

가 되므로 2차방정식의 근의 공식을 이용해 4차방정식을 풀 수 있다.

5차 방정식 및 그 이상..

근의 공식은 4차 방정식 까지만 존재하며 5차 이상은 존재하지 않습니다. 이는 수학자 '아벨' 이 증명 해냈었습니다.

※ 근의 공식이 없다는 것이지 근 자체가 없다는 것은 아닙니다!!

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