정다면체

각 면이 모두 합동인 정다각형이고 각 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 볼록한 다면체를 정다면체라 한다. 정사면체, 정육면체, 정팔면체가 정다면체임은 피타고라스와 그의 제자들에 의해 이론적으로 연구되었고, 플라톤의 친구인 테아이테토스는 정십이면체와 정이십면체를 추가하여 이들 5개 외에는 더 이상의 정다면체가 없음을 증명하였다.

플라톤은 우주를 구성하는 네 가지 요소(불, 물, 흙, 공기)를 정다면체에 비유하였다. 가장 가볍고 날카로운 원소인 불은 정사면체, 가장 안정된 원소인 흙은 정육면체, 가장 활동적이고 유동적인 원소인 물은 가장 쉽게 구를 수 있는 정이십면체의 상징으로 간주하였다. 또 정팔면체는 그 마주 보는 꼭지점을 집게손가락과 엄지손가락에 끼어 가볍게 잡을 수 있고 또 쉽게 회전될 수 있으므로 그것은 공기의 불안전성을 갖고 있다 하여 공기에 비유하였다. 마지막으로 정십이면체는 열 두 개의 면을 가지고 있고, 또 일주기가 12궁(宮)을 가지고 있으므로 우주에 비유하였다. 이러한 이유로 정다면체는 플라톤의 입체라고도 불린다.

   ※ 면각수 : 한 꼭지점에 모이는 정다각형의 개수

 문제> 정이십면체의 면각수를 구하시오.