(한문제당 $1000000 ←12억) 입니다.

1. 3n+1 문제  n이 짝수면 2로 나누고, n이 홀수면 3n+1을 구한다.

2.쌍둥이 솟수 증명

3.골드바흐의 예상
"2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 솟수의 합으로 나타낼 수 있다"

(10^43000 이상의 홀수는 세 소수의 합임이 증명되었음. Riemann 가정을 이용하면 훨씬 줄일 수 있음이 알려짐)

4.메르센 수 증명

5. 페르마 수
페르마는 Fn = 22^n + 1이 언제나 솟수일 걸로 예상했지만, F5가 합성수임이 밝혀져 예상이 틀렸습니다.

Fermat 소수는 F11 = 22^11 + 1 까지 인수분해가 완료됨.
F22는 합성수로 판정이 났음.

6.피보나치 솟수

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...를 피보나치 수열이라고 합니다. (각 항은 앞 두 항을 더해서 구합니다.)

이 수열은 솟수를 무한히 많이 포함하고 있을까?

n2 + 1 꼴의 솟수

n2 + 1 꼴의 솟수가 무한히 많이 존재할까?

k 2n + 1 꼴의 합성수

모든 자연수 n에 대해 k 2n + 1 이 합성수가 되는 k가 존재하는 것은 알려져 있는데, 이런 k의 최소값은 무엇일까?

7.제곱 수 사이의 솟수

연속된 두 수의 제곱 사이에는 언제나 솟수가 존재할까?

2 이상의 자연수 n에 대해, n과 2n 사이에 솟수가 존재한다는 것은 Bertrand Postulate로 알려진 유명한 문제로 이미 오래 전에 참으로 밝혀졌다. 그러나 이 문제처럼 제곱인 경우는 아무도 모른다.

 8.큰 수의 인수분해

솟수가 아닌 것만 알 뿐, 그 소인수 분해를 모르는 수가 많습니다.

페르마 수 Fn = 22^n + 1 의 경우, 그 인수분해가 알려져 있는 것은, n이 8까지인 경우뿐입니다.

n이 9보다 크거나 같은 경우, 겨우 몇 개의 인수만 알려져 있습니다.

9.홀수 완전수

6의 약수 가운데 자기 자신을 제외한 나머지 1, 2, 3을 모두 더하면, 다시 6이 됩니다.

이처럼 자신을 제외한 약수를 모두 더한 값이 다시 자기 자신일 때, 그 수를 "완전수"라고 합니다.

짝수인 완전수의 일반적인 꼴은 이미 알고 있지만, 홀수인 완전수는 아직 단 하나도 발견되지 않았습니다.

여러 연구 결과, 아마도 그런 수가 존재하지 않거나, 존재한다면 어마어마하게 큰 수 --- 10300보다 커야 합니다 --- 란 것까지는 알려져 있습니다.

10.π + e

π와 e는 무리수일 뿐 아니라, 심지어 초월수라는 것도 밝혀져 있습니다. ("초월수"란 정수 계수 다항 방정식의 근이 될 수 없는 수를 말합니다.)

그런데 π + e 는 초월수는 커녕, 유리수인지 무리수인지도 모릅니다.

11.오일러 수

"오일러 수"로 불리는 것들이 여럿 있는데, 여기서 말하는 것은, 다음과 같이 정의합니다.

γ = limn→∞ ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n )

이 γ가 수렴한다는 것은 쉽게 보일 수 있지만, 이 수가 유리수인지 무리수인지도 아직 모릅니다.

12.아페리의 수

ζ(3) = 1/13 + 1/23 + 1/33 + 1/43 + ... 으로 정의합니다.

아페리(Apery)가 이 수가 무리수임을 보였지만, 아직 초월수인지 아닌지는 알지 못합니다.
12.아페리의 수

아페리의 증명이 발표되었을 때, 그 방법이 뜻밖에 간단해서, 많은 수학자들이 "나도 한번 해 볼걸"하고 땅을 치고 통곡했다는....

13. 카탈랑의 예상

연속된 두 정수가 거듭제곱 수인 경우는 언제일까?

2의 세제곱인 8과 3의 제곱인 9만이 유일하다고 예상

2002년 5월, 체코 수학자 Preda Mihailescu가 드디어 증명에 성공하였습니다.

14.이집트 분수

분자는 1, 분모는 자연수인 분수를 이집트 분수라고 합니다.

1보다 큰 임의의 자연수 n에 대해, 4/n 을 세 개의 이집트 분수로 나타낼 수 있을까
n이 어떤 값이라도, 4/n = 1/x + 1/y + 1/z 를 만족하는 양의 정수해 x, y, z가 존재하겠느냐....

15. 5차 부정 방정식

다음 방정식을 만족하는 서로 다른 자연수 a,b,c,d가 존재할까
a^5 + b^5 = c^5 + d^5

16. 일곱 개의 세제곱들의 합

454보다 큰 모든 정수는 일곱 개 이하의 양의 정수를 세제곱한 것들의 합으로 나타낼 수 있을까

17.유리수 거리

평면 위에 한 변의 길이가 1인 정사각형이 놓여 있습니다.

이 정사각형의 네 꼭지점에 이르는 거리가 모두 유리수인 점이 이 평면에 존재할까

18.유리수 상자

임의의 두 점 사이의 거리가 모두 정수인 직육면체가 존재할까

19.내접 정사각형

평면 위에 단순 폐곡선이 주어졌을 때, 정사각형의 네 꼭지점이 되는 점들이 이 곡선 위에 존재할까
단순 폐곡선이란 자기 자신과 만나지 않는 폐곡선